Pendidikan: APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN TAK LINEAR DALAM ILMU EKONOMI

MATEMATIKA EKONOMI

TENTANG : APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN TAK LINEAR DALAM ILMU EKONOMI

OLEH:

KELOMPOK IV

1. FIKA INDAH PERAWANSA (8176171009)

2. SYAMSAH FITRI (8176171034)

MATA KULIAH : MATEMATIKA EKONOMI

DOSEN PENGAMPU : Prof. Dr. MARTUA MANULLANG, M.Pd

KELAS / PRODI : A1/PASCA PENDIDIKAN MATEMATIKA

$Description: E:\logo.png$

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

T.A. 2017 / 2018

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Puji syukur kami ucapkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmar, karunia, serta taufik dan hidayahnya karena kami dapat menyelesaikan makalah tentang “Matematika Ekonomi” ini dengan baik meskipun banyak kekurangan didalamnya. Tak lupa pada nabi junjungan dan baginda Rasullullah kita yaitu Nabi Muhammad SAW. Dan juga kami berterima kasih pada Bapak Prof. Dr. Martua Manullang, M.Pd selaku dosen mata kuliah Matematika Ekonomi Unimed yang telah memberikan tugas ini kepada kami.

Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai Matematika Ekonomi. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa dalam makalah ini terdapat kekurangan yang jauh dari ata sempurna. Oleh karena itu, kami berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah kami buat dimasa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.

Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi perbaikan makalah ini diwaktu yang akan datang.

Medan, 27 September 2017

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI ii

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Batasan Masalah 2

1.3 Rumusan Masalah 2

1.4 Tujuan Pembahasan 2

BAB II PEMBAHASAN 3

2.1.1 Fungsi Permintaan 3

2.1.2 Fungsi Penawaran 3

2.1.3 Fungsi Keseimbangan Pasar 4

2.1.4 Fungsi Konsumsi dan Tabungan 5

2.1.5 Pajak 7

2.2.1 Fungsi Permintaan Kuadrat 12

2.2.2 Fungsi Penawaran Kudrat 14

2.2.3 Keseimbangan Pasar 15

2.2.4 Penerimaan Total 16

BAB III PENUTUP 20

3.1 Kesimpulam 20

DAFTAR PUSTAKA 21

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Penyelesaian persamaan linear – non linear adalah mencari titik potong fungsi dengan sumbu X demikian juga penyelesaian persamaan differensial adalah mencari fungsi yang memenuhi persamaan. Penyelesaian persamaan differensial maupun mencari akar suatu persamaan dapat dilakukan dengan berbagai metode, namun dalam tulisan ini akan diuraikan dengan menggunakan metode kesamaan. Metode kesamaan adalah suatu metode penyelesaian yang mengusahakan bentuk

Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier.

Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu : - Fungsi Kuadrat

- Fungsi Kubik

- Fungsi Eksponensial

- Fungsi Logaritma

Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat.

Fungsi non linear merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linear. Fungsi non linearmerupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karna lebih mendekati ke keadaan nyata. Banyak masalah dalam elmu ekonomi yang menggunakan fungsi non linier sebagi model. Meskipun demikian tidak semua aplikasi dimuat dalam makalah ini. Aplikasi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk:

· Fungsi permintaan

· Fungsi penawaran

· Fungsi keseimbangan pasar

· Fungsi konsumsi

· Fungsi Pajak

· Pengaruh Subsidi

Aplikasi eksponensial yang dibicarakan, dibatasi untuk:

· Bunga Majemuk

· Nilai aset sekarang dari aset masa depan

· Model Pertumbuhan

1.2. Batasan Masalah

Dalam pembahasan makalah ini, penulis membatasi ruang lingkup pada beberapa kuadratik yaitu fungsi permintaan, penawaran, keseimbangan pasar, konsumsi dan tabung, bunga majemuk, nilai aset sekarang dari aset masa depan, dan model pertumbuhan bagaimana cara memahami fungsi linear dan non linier matematika siswa dan bagaimana mengaplikasikan materi pada kehidupan sehari-hari siswa.

1.3. Rumusan Masalah

Berdasarkan batasan masalah, maka yang menjadi rumusan masalah dalam penulisan makalah ini adalah:

1. Bagaimana memahami penerapan fungsi linear dalam ilmu ekonomi?

2. Bagaimana memahami penerapan fungsi non linier dalam ilmu ekonomi?

1.4. Tujuan Penulisan

Penulisan makalah ini bertujuan untuk:

1. Untuk mengetahui bagaimana memahami penerapan fungsi linear dalam ilmu ekonomi

2. Untuk mengetahui bagaimana penerapan fungsi non linier dalam ilmu ekonomi

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Penerapan Fungsi Linear

2.1.1. Fungsi Permintaan

P =

–

Fungi permintaan linear yaitu suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara variable jumlah/kuantitas suatu barang yang diminta dengan variable harganya yang kurvanya merupakan grafik fungsi linear. Sehingga diperoleh bentuk umum fungsi permintaan : Qd = a – bP atau

Dimana: Qd = Jumlah produk yang diminta

a = Konstanta

b = parameter (b>0)

Contoh Soal :

10 buah barang A terjual jika harganya Rp. 80,-/buah. Sedangkan jika harga barang A Rp. 60,-/buah, terjual 20 buah. Tentukan persamaan dan kurva permintaannya!

Penyeleseian :

Q₁ = 10 P₁ = 80

Q₂ = 20 P₂ = 60

Menggunakan rumus persamaan garis melalui dua titik :

(0,100)

y – y₁ =

(x– x₁)

(50,0)

Jika P = 0 2Q = 100 – 0 Q = 50 A (50,0)

Jika Q = 0 2(0) = 100 – P P = 100 B (0,100)

2.1.2. Fungsi Penawaran

Hukum penawaran.

P =

Bentuk umum fungsi penawaran : Q_s = a + bP atau

Dimana : Q_s= Jumlah Produk yang ditawarkan

a = konstanta

P = Harga Barang per unit

b = parameter (b>0)

Contoh

Apabila harga barang A Rp. 75,- barang yang tersedia di pasar 100 buah. Apabila harga barang A Rp. 50,- maka barang yang tersedia di pasar hanya 50 buah.

Penyeleseian :

Q₁ = 100 P₁ = 75

(0,25)

(-50,0)

Q₂ = 50 P₂ = 50

Menggunakan rumus persamaan garis melalui dua titik :

y – y₁ =

(x– x₁)

Jika P = 0 Q = - 50 + 2(0) Q = - 50 A (- 50,0)

Jika Q = 0 0 = - 50 + 2P 2P = 50 P = 25 B (0,25)

2.1.3. Fungsi Keseimbangan Pasar

Q _d = Q _s

Keseimbangan pasar terjadi apabila jumlah barang yang diminta sama dengan jumlah barang yang ditawarkan, dan harga barang yang diminta sama dengan harga barang yang ditawarkan.

Excess Supply

Q_s

P_e

Rumus Keseimbangan Pasar:

Di mana:

Q_d : jumlah permintaan

Q_{d
d}

Q_s : jumlah penawaran

Excess Demand

E : titik keseimbangan

P_e : harga keseimbangan

Q_e

Q_e : jumlah keseimbangan

Contoh Soal:

Tentukan titik keseimbangan dari persamaan permintaan P = 12 – 2Q dan persamaan penawaran P = 3/2Q + 2!

Penyeleseian :

Permintaan : P = 12 – 2Q Q_d = 6 – 1/2P

(0,12)

Penawaran : P = 3/2Q + 2 Q_s= 2/3P – 4/3

E (2

, 6

)

(6,0)

P = 12 – 2Q

P = 3/2Q + 2

(0,2)

(- 4/3,0)

Jadi, titik keseimbangannya ( 2

, 6

)

2.1.4. Fungsi Konsumsi dan Tabungan

Fungsi konsumsi dapat ditulis kedalam bentuk fungsi linear dari pada pendapatan maka persamaannya:

C = a + by ; (a > 0, dan b>0)

Dimana:

C = tingkat konsumsi

y = tingkat pendapatan

a = tingkat konsumsi pada saat pendapatan 0

b = kecenderungan konsumsi marginal (MPC)

Hubungan antara pendapatan, konsumsi dan tabungan adalah:

Y = C + S

Y = (a + b y) + S

S = Y - (a + by)

S = -a + (1 – b) y

Dimana:

S = tingkat tabungan

(1 – b) = kecenderungan menabung marginal (MPS)

Apabila diperhatikan:

• Pada persamaan tabungan è MPS = (1 – b)

• Pada persamaan konsumsi è MPC = b

Berarti:

MPS = 1 – MPC

MPS + MPC = 1

Persamaan konsumsi dan persamaan tabungan dapat digambarkan secara bersama-sama dalam satu diagram seperti gambar di samping.

Contoh:

Bila diketahui fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 15 + 0,75y, maka tentukanlah:

(a) Fungsi Tabungan

(b) Berapa besarnya konsumsi bila pendapatannya = 0

(d) Berapa tabungannya bila pendapatannya 80?

(e) Berapa tingkat pendapatannya bila tabungan masyarakat adalah 60?

(f) Gambarkan grafik fungsi konsumsi dan tabungan

Penyelesaian:

a. Tabungan S = y – c → S = y – (15 + 0,75y)

S = y – 15 – 0,75y

S = -15 + 0,25y Fungsi tabungan adalah C = -15 + 0,25y

b. Funsi Konsumsi : C = 15 + 0,75y Bila pendapatan = 0 atau y = 0 maka konsumsi c = 15

c. Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0, jadi C = -15 + 0,25y

0,25y = 15

y = 60

d. Bila pendapatan =80, maka S = -15 + 0,25y → S = 5, bila pendapatan 80 maka tabungan 5

e. Bila tabungan 60, maka S = -15 +0,25y → 60 = -15 +0,25y

y = 300

Jadi bila tabungannya 60, maka tingkat pendapatan masyarakat adalah 300

f. Grafik :

2.1.5. Pajak

Pajak langsung dari wajib pajak misalnya, pajak kekayaan, pajak pendapatan, pajak perseroan. Sedangkan pajak tidak langsung misalnya, pajak penjualan, pajak tontonan. Dalam hal ini yang akan kita bahas adalah pajak tidak langsung berupa pajak penjualan.

· Jika fungsi penawaran (So) berbentuk P=f(Q)

Maka fungsi penawaran setelah pajak (St) => PT=Po + t

· Jika fungsi penawaran berbentuk Q= f(P)

Maka fungsi penawaran setelah pajak (St)=> Qt= (Pt-t) + C

(jadi setiap variabel Po dalam persamaan

Q= f(P) tersebut diganti menjadi (Pt-t). Karena nilai Po (harga sebelum pajak) = Pt-t

· Total pajak yang diterima pemerintah => T= t.Qt

(Jumlah total pajak yang ditanggung konsumen dan produsen)

· Total pajak yang ditanggung konsumen => t.kons.Qt

· Total pajak yang ditanggung produsen => t.prod.Qt

Contoh:

1. Fungsi permintaan (D): P=10-Q, fungsi penawaran : P=Q+2, jika pajak 2 per unit maka carilah:

a. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak

b. Total pajak yang diterima pemerintah

c. Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen

d. Gambar

Jawab:

Langkah 1:

D => P = 10-Q

S => P = Q + 2

T = 2/ unit

a. Eo => 10-Q = Q+2 St=> Pt=(Q+2)+2

2Q = 8 pt=Q+4

Q=4 Et=> Q+4=10-Q

P=6 2Q=6

Jadi E0=(4,6) Q=3 dan P=7

Jadi Et (3.7)

b. $Description: C:\Users\Asus\Pictures\2017-08-28_150318.png$ Total pajak =t.Qt =2.3 =6

c. Pajak konsumen =1.3=3

Pajak produsen =1.3=3

d. Gambar

1. Pengaruh Pajak Spesifik terhadap Keseimbangan Pasar

Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ maka sesudah pajak akan menjadi P = a + bQ + t = ( a + t ) + bQ atau Q = –

(P – t).

Ket :

tk = pajak konsumen

P’e = harga keseimbangan sesudah pajak

Pe = harga keseimbangan sebelum pajak

tp = pajak produsen

t = pajak per unit barang

T = pajak yang diterima pemerintah

tk = P’e – Pe

Adapun besarnya bagian beban pajak untuk konsumen dan produsen, serta jumlah pajak yang diterima pemerintah dapat diketahui melalui persamaan berikut ini :

v Pajak Konsumen :

tp = t – tk

v Pajak Produsen

T = Q’e x t

Pajak Diterima Pemerintah :

Contoh Soal :

Berdasarkan contoh soal 4, tentukan masing-masing nilai pajak konsumen, pajak produsen, dan jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah!

Penyeleseian :

v Pajak Konsumen : tk = 2,5 – 1,5 = 1/ unit

v Pajak Produsen : tp = 3 – 1 = 2/ unit

v Pajak Diterima Pemerintah : T = 2,5 x 3 = 7,5

1. Pengaruh Pajak Proporsional terhadap Keseimbangan Pasar

P = a + bQ + tP

Pajak proporsional ialah pajak yang besarnya ditetapkan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual, bukan ditetapkan secara spesifik per unit barang. Berikut persamaan penawaran yang baru jika dikenakan pajak proporsional :

Atau

2. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar

Subsidi merupakan bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen dan konsumen, sehingga subsidi selalu mengurangi harga barang yang ditawarkan (P_d) atau hanya mempengaruhi fungsi penawaran, sedang fungsi permintaannya tetap.

P_s’ = a + bQ – s

Bila fungsi harga penawaran P_s= f(Q) dengan adanya subsidi (s) membuat harga penawaran baru yaitu:

P_d = P_s’ atau Q_d = Q_s’

Q_s’ = a + b (P + s)

Sedangkan bila fungsi jumlah penawaran ialah Q_s = f(P), dengan adanya subsidi (s), maka jumlah penawaran yang baru adalah:

Sehingga keseimbangan pasar yang baru terjadi ketika:

dimana:

P_s’ : harga penawaran setelah subsidi

Q_s’: jumlah penawaran setelah subsidi

s : subsidi dari pemerintah

Ket :

sk = pajak konsumen

Pe’ = harga keseimbangan sesudah pajak

Pe = harga keseimbangan sebelum pajak

sp = pajak produsen

s = pajak per unit barang

S = pajak yang diterima pemerintah

Qe’ = jumlah keseimbangan setelah subsidi

Besarnya subsidi yang diberikan pemerintah serta subsidi diterima oleh konsumen dan produsen dapat dihitung melalui rumus berikut ini:

v Subsidi untuk Konsumen :

sk = Pe – P’e

Per unit :

sk = (Pe’ – Pe) x Qe’

Secara Keseluruhan :

sp = s – sk

v Subsidi untuk Produsen:

S = Qe’ x s

v Subsidi yang diberikan Pemerintah :

3. Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan

Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah produksi yang dihasilkan. Terdiri atas tiga jenis, yaitu :

FC = k dengan k : konstanta positif

Fixed cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak bergantung pada jumlah produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya tetap adalah fungsi konstanta.

VC = f ( Q ) = vQ dengan v : lereng kurva VC dan kurva C positif

Variabel cost atau biaya variabel (VC) adalah fungsi biaya yang berubah-ubah yang besarnya bergantung dari jumlah barang yang diproduksi. Jadi : VC = f(Q) merupakan hasil kali antara biaya produksi per unit dengan jumlah barang yang diproduksi.

TC = FC + VC = k + vQ

Total Cost, dilambangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel.

Contoh Soal :

Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp. 1.000.000,-. Sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 500Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan tersebut memproduksi 9.000 unit barang?

Penyeleseian :

FC = 1.000.000 TC = FC + VC = 1.000.000 + 500Q

VC = 500Q Jika Q = 9.000, TC = 1.000.000 + 500 (9.000) = 5.500.000

= 500 (9.000) = 4.500.000

TR= R = f (Q) dengan Q : jumlah produk yang laku terjual

Fungsi Penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan, dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (Total Revenue). Fungsi Penerimaan merupakan fungsi dari output :

TR = Q x P = f (Q)

Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi dan laku dijual.

Fungsi penerimaan bukan saja melambangkan jumlah barang yang dihasilkan, tetapi juga melambangkan jumlah barang yang terjual dengan asumsi bahwa perusahaan selalu berhasil menjual setiap barang yang dihasilkan.

Contoh Soal:

Berdasarkan Contoh Soal 6, tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan, serta besarnya penerimaan jika harga jual barang dari perusahaan Rp. 1000,- per unit!

Penyeleseian :

TR = Q x P

TR = Q x 1000 Jika Q = 9.000, TR = 1.000 x 9.000 = 9.000.000

TR = 1000Q

4.500

4. Analisis Pulang Pokok/Break Event Point (Titik Impas)

Setelah diketahui nilai TR dan TC dapat dianalisa apakah perusahaan mendapat keuntungan ataukah mengalami kerugian. BEP (Break Even Point) atau titik impas adalah suatu titik atau keadaan dimana suatu perusahaan tidak memperoleh keuntungan dan juga tidak mengalami kerugian. Dengan kata lain, keuntungan atau kerugiannya bernilai nol. Jumlah unit yang dihasilkan dalam keadaan BEP dapat ditentukan melalui rumus :

= 0 , TR = TC

Persamaan BEP ditentukan dengan rumus :

Penerapan Fungsi Non Linear

2.1.6.

Fungsi Permintaan Kuadrat

Bentuk umum fungsi permintaan kuadrat P = f (Q) adalah sebagai berikut.

P = aQ²+bQ+c

Dimana: P = Harga Produk

Q = jumlah produk yang diminta

a, b, dan c adalah konstanta, dan a

Karena parameter a

0 pada persamaan (4), maka parabola akan terbuka ke bawah. Gambar parabola yang terbuka ke bawah ini menunjukkan kurva permintaan.

Q = c + bP – aP²

Sebaliknya, bentuk umum fungsi permintaan kuadrat Q = f(P) adalah sebagai berikut.

Karena parameter a

0 pada persamaan (5), maka parabola akan terbuka ke kiri. Gambar parabola yang terbuka ke kiri ini juga menunjukkan kurva permintaan. Jadi, untuk fungsi permintaan kuadrat baik yang berbentuk P = f(Q) ataupun Q = f(P) grafiknya hanya diambil dari sebagian parabola yang terletak di kuadran I.

Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan ® Q d = 19 – P ²

Q s = - 8 + 2 P ²

Berapa harga keseimbangan dan jumlah barang keseimbangan ?

Jawab : titik Keseimbangan terjadi pada saat Q d = Q s

19 – P ² = - 8 + 2 P ²

19 + 8 = 2 P ² + P ²

27 = 3 P ²

P ² = 9 ® P = Ö 9 = ± 3

Jika nilai P = 3 à Q = 19 – P ² = 19 – 3 ² = 19 – 9 = 10

Jadi harga yang terjadi pada titik keseimbangan Rp 3,00 dan jumlah permintaan pada titik keseimbangan 10 unit.

Ø Jika dikenakan pajak spesifik ( pajak tetap ) sebesar t = 1

Ø Berapa harga dan jumlah barang pada titik keseimbangan?

Fungsi penawaran setelah pajak Q s = - 8 + 2 ( P – t ) ²

Q s = - 8 + 2 ( P – 1) ²

Q s = - 8 + 2 ( P ² – 2 P + 1 )

Q s = - 8 + 2 P ² – 4 P + 2

Q s = - 6 + 2 P ² – 4 P

Titik keseimbangan setelah kena pajak ® Q d = Q s yg baru

19 – P² = - 6 + 2 P² – 4 P

0 = 2 P² + P² – 4 P – 6 – 19

0 = 3 P² – 4 P – 25 ® 3 P² – 4 P – 25 = 0

Untuk mencari nilai P gunakan rumus abc ® X ₁₂ =

P₁₂ =

® P₁₂ =

P₁₂ =

® P₁₂ =

® P₁ =

= 3,63 (yang dipilih)

® P₂ =

= - 2,2967

Q _d = 19 – P ² = 19 – ( 3,63 ) ² = 19 – 13,1769 = 5,8231

Jadi harga keseimbangan setelah ada pajak Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah ada pajak 6 unit

2.1.7. FUNGSI PENAWARAN KUADRAT

Bentuk umum fungsi penawaran kuadaratP = f (Q) adalah sebagai berikut.

P = c + bQ + aQ²

Dimana P = harga product

Q = jumlah product yang ditawarkan

a, b dan c adalah konstanta, dan a

Karena parameter a

0 pada persamaan, maka parabola akan terbuka ke atas. Gambar dari parabola yang terbuka ke atas ini menunjukkan kurva penawaran.

Q = c + bP + aP²

Sedangkan, bila fungsi penawaran kuadrat berbentuk Q = f(P), maka bentuk umumnya adalah:

Dimana P = harga produk

Q = jumlah product yang ditawarkan

a, b dan c adalah konstanta, dan a

Karena parameter a

0 pada persamaan,maka parabola akan terbuka ke kanan. dari parabola yang terbuka ke kanan ini menunjukkan kurva penawaran.

Contoh :

Diketahui fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = Q² +6Q+8. Gambarkan kurva penawarannya !

Penyelesaian :

a. Titik potong pada sumbu P, Bila Q = 0, maka P = 8. Jadi titik Potong (0,8).

b. $Description: C:\Users\Asus\Pictures\2017-08-27_160706.png$ Titik potong pada sumbu Q, Bila P = 0, maka :

Q² +6Q+8 = 0

(Q + 4) (Q+ 2) = 0

Q₁= -4 dan Q₂ = -2

Jadi titik poton adalah (-4,0) dan (-2,0)

c. Titik Puncak

d. Persamaan sumbu simetri adalah Q = -3

2.1.8. KESEIMBANGAN PASAR

Dalam seksi ini kita akan mencari nilai keseimbangan pasar, di mana fungsi permintaan atau fungsi penawaran berbebtuk nonlinier atau linier.

Contoh

Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini.

P_d = 24 – 3Q²

$Description: C:\Users\Asus\Pictures\Untitled.jpg$ P_s= Q²+ 2Q + 4

Penyelesaian:

Syarat keseimbangan pasar adalah P_d = P_s

24 - 3Q² = Q²+ 2Q + 4

4Q²+ 2Q – 20 = 0

Q_1,2=

= 2

Q_1,2=

= - 2,5 ( tidak memenuhi)

Subsitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran,sehingga diperoleh nilai P, yaitu:

P = 24 – 3 (2)

P = 24 – 12 = 12

Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E ( 2,12).

2.1.9. PENERIMAAN TOTAL

Peneriman total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara harga per unit produk dengan jumlah produk yang dijual, atau rumusnya adalah sebagai berikut :

TR = P.Q

Dimana: TR = Penerimaan total

Q = Jumlah produk yang dijual

P = Harga produk per unit

Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas ke kanan bawah berarti harga p tidak tetap, maka penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi, bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – aQ, maka akan diperoleh persamaan penerimaan total.

TR = P.Q

TR = (b – aQ)Q

TR = bQ – aQ²

Fungsi penerimaan total ini bila digambarkan dalam bidang koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu: Q = 0 dan Q =

. Karena kurva parabola terbuka ke bawah berarti fungsi penerimaan total ini mempunyai titik puncak maksimum, yaitu:

Titik puncak =

Contoh :

$Description: C:\Users\Asus\Pictures\2017-08-27_165158.png$ Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total maksimum dan gambarkanlah kurva permintaan dan penerimaaan total dalam satu diagram!

Penyelesaian :

TR = PW

TR = (20 – 2Q)Q

TR = 20Q – 2Q²

TR maksimum =

= (5, 50)

Jika TR = 0, maka 20Q – 2Q²= 0

2Q(10 – Q) = 0

Q₁ = 0

Q₂ = 10

2.1.10. Penerapan Fungsi non Linier dari Fungsi Biaya

Bentuk non linier dari fungsi biaya ® Fungsi Parabola

® Fungsi Kubik

Ø Biaya Tetap ( FC ) = konstanta

Ø Biaya Variabel ( VC ) = f ( Q )

Ø Biaya Total ( TC ) ® C = FC + VC = k + f ( Q )

Ø Biaya Marginal =

a). Fungsi Biaya Total ® TC = a Q ² – b Q + c ® Fungsi Parabola

b). Fungsi Biaya Total ® TC = a Q ³ – b Q ² + c Q + d ® Fungsi Kubik

Kasus : Biaya total

TC = 2 Q ² – 24 Q + 102

Parabola

Ø Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total ini minimum ?

Ø Hitung biaya total minimum ?

Ø Hitung biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, Biaya tetap rata-rata, biaya variable rata-rata ?

Ø Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besarnya biaya marginal ?

TC minimum

titik ekstrim parabola

Q pada TC minimum =

= 6 unit

TC (Biaya Total) pada produksi minimum = 2 Q ² – 24 Q +102

= 2 (6) ² – 24 (6) + 102 = 30

TC minimum

pada ordinat titik ekstrim parabola.

TC total minimum =

= 30

Pada Q = 6

FC = 102

VC = 2Q ² – 24Q = 2 ( 6 ) ² – 24 ( 6 ) = - 72

2.1.11. Fungsi Penerimaan, Keuntungan dan Kerugian serta Titik Impas dari Fungsi Non Linier

Fungsi penerimaan

bentuk umum

fungsi parabola menghadap ke bawah pada Produsen di pasar monopoli.

Sedang bentuk fungsi penerimaan akan linier untuk produsen di pasar persaingan sempurna

TR = Q X P = f (Q)

total penerimaan

= AR

rata-rata penerimaan

= MR

penerimaan marginal

Dimana T I = titik impas

Besar kecilnya keuntungan diperlihatkan oleh besar kecilnya selisih, positif antara TR dan C

Keuntungan maximum tidak selalu terjadi pada saat TR maksimum.

BAB III

PENUTUP

3.1.Kesimpulan

Matematika adalah satu alat untuk menyerdehanakan penyajian dan pemahaman suatu maslah dengan menggunakan bahasa matematika, penyajian suatu maslah menjadi lebih sederhana sehingga mudah untuk dipahami, dianalisis serta di pecahkan. Didalam ilmu ekonomi yang berkembang dengan pesat, berbagai konseop matematika digunakan sebagai alat analisis salah satu konsepnya diantaranya fungsi linear dan non linear. Penggunaan fungsi linear dalam ilmu ekonomi seperti:

1. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran

2. Fungsi keseimbangan pasar

3. Fungsi konsumsi dan tabungan

4. Fungsi pajak

Sedangkan penerapan fungsi non linear dalam ilmu ekonomi seperti fungsi permintaan, fungsi penawaran, fungsi keseimbangan pasar, bunga majemuk, nilai aset sekarang dari aset masa depan, dan model pertumbuhan

DAFTAR PUSTAKA

Manullang, M., Rajagukguk. (2015). Matematika Ekonomi, Diktat Kuliah Matematika Ekonomi, Jurusan FMIPA, Universitas Negeri Medan

Kalangi, J.B. (2012). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba Empat

Johannes, H., Handoko.B.S. (1979). Pengantar Matematika Untuk Ekonomi. Jakarta: Intermasa

Dumairy. (2010) Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta

Hidayat, Rachmat. (2013) Matematika Ekonomi dan Bisnis , Yogyakarta: Graha

Ilmu

Pendidikan

Sabtu, 11 November 2017

APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN TAK LINEAR DALAM ILMU EKONOMI

Tidak ada komentar:

Posting Komentar